Der Nachweis, dass es sich bei der Menge der Punkte P(x; y) mit der gegebenen Eigenschaft tatsächlich um einen Kreis handelt, lässt sich mit den Mitteln der analytischen Geometrie relativ leicht führen.
O.B.d.A. nehmen wir dazu an, dass die Punkte A und B in einem ebenen kartesischen Koordinatensytem die Koordinaten (0; 0) bzw. (b; 0) haben.
![Bild](https://www.lernhelfer.de/sites/default/files/lexicon/article_image/BWS-MAT2-0604-03.gif)
Dann muss gelten:
Durch Quadrieren und Umformen ergibt sich daraus
bzw. mittels quadratischer Ergänzung
.
Diese Gleichung beschreibt einen Kreis mit dem Mittelpunkt
und dem Radius .
In der obigen Abbildung ist der Sachverhalt dagestellt, wobei als feste Punkte die Punkte A(0; 0) und B(6; 0) gewählt wurden. Der APOLLONIOS-Kreis hat in diesem Fall den Mittelpunkt M(8; 0) und den Radius 4.
Die Punkte A, B, M und der Kreispunkt C sind sogenannte harmonische Punkte, d.h. Punkte der harmonischen Teilung der Strecke , d.h., es gilt:
B ist der innere harmonische Teilpunkt, C der äußere harmonische Teilpunkt der Strecke .