Apollonios-Kreis

Als speziellen geometrischen Ort untersuchte APOLLONIOS die Menge aller der Punkte P, die von einem gegebenen Punkt A doppelt so weit entfernt sind wie von einem anderen gegebenen Punkt B, d.h. für die gilt:
A P ¯ = 2 B P ¯
Er stellte fest, dass diese Punkte auf einem Kreis (dem sogenannten APOLLONIOS-Kreis) liegen.

Apollonios-Kreis

Apollonios-Kreis

Der Nachweis, dass es sich bei der Menge der Punkte P(x; y) mit der gegebenen Eigenschaft tatsächlich um einen Kreis handelt, lässt sich mit den Mitteln der analytischen Geometrie relativ leicht führen.

O.B.d.A. nehmen wir dazu an, dass die Punkte A und B in einem ebenen kartesischen Koordinatensytem die Koordinaten (0; 0) bzw. (b; 0) haben.

Bild

Dann muss gelten:
x 2 + y 2 = 2 ( x b ) 2 + y 2
Durch Quadrieren und Umformen ergibt sich daraus
x 2 8 b 3 x + y 2 = 4 3 b 2
bzw. mittels quadratischer Ergänzung
( x 4 b 3 ) 2 + y 2 = 4 9 b 2 .

Diese Gleichung beschreibt einen Kreis mit dem Mittelpunkt
M ( 4 b 3 ; 0 ) und dem Radius 2 3 b .

In der obigen Abbildung ist der Sachverhalt dagestellt, wobei als feste Punkte die Punkte A(0; 0) und B(6; 0) gewählt wurden. Der APOLLONIOS-Kreis hat in diesem Fall den Mittelpunkt M(8; 0) und den Radius 4.

Die Punkte A, B, M und der Kreispunkt C sind sogenannte harmonische Punkte, d.h. Punkte der harmonischen Teilung der Strecke A M ¯ , d.h., es gilt:
M B ¯ : B A ¯ = M C ¯ : C A ¯

B ist der innere harmonische Teilpunkt, C der äußere harmonische Teilpunkt der Strecke A M ¯ .

Stand: 2010
Dieser Text befindet sich in redaktioneller Bearbeitung.

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