Anwendungen von Differenzengleichungen

Für den Fall des Annuitätendarlehens ist die Berechnung des Kontostandes, der Zinsen und der Tilgung in nachstehender Tabelle aufgeführt.

In der Tabelle kann der Kontostand $K_i$ im i-ten Jahr ausgehend von $K_0$ nach der Differenzengleichung oder der nachschüssigen Rentenformel berechnet werden.
Die Zinsen am Ende des i-ten Jahres ergeben sich aus $Z_i=p{\text{ K}}_{\text{i}}$.
Die Kontostandsänderung $\Delta {\text{K}}_{\text{i}}$ ist die Summe der Zinsen und der Rate, kann aber auch als ${\text{K}}_{\text{i}\text{+1}}-K_i$ berechnet werden.

Temperaturanpassung an Umgebungstemperatur

Befindet sich ein Körper mit der Temperatur T in einer Umgebung der Temperatur ${\text{T}}_{\text{u}}$, so wird sich seine Temperatur in Richtung der Umgebungstemperatur so lange ändern, bis ein Temperaturausgleich erfolgt ist. Dabei wird in einer Zeiteinheit $\Delta t$ die Temperaturänderung $\Delta \text{T}$ umso größer sein, je größer der Unterschied der Temperaturen T und ${\text{T}}_{\text{u}}$ ist.

Es gilt $\Delta \text{T}\sim {\text{T}}_{\text{u}}\sim T\left(newtonsches\text{ Abkühlungsgesetz}\right)$, also auch
$\Delta \text{T}=k\left({\text{T}}_{\text{u}}-T\right)\text{ bzw}\text{. T}\left(t+\Delta t\right)=k{T}_u+\left(1-k\right)T\left(t\right)$ oder $T_{i+1}=\left(1-k\right)T_i+k{T}_u,\text{ i}\in \mathbb{N}$, wobei k ein auf das Zeitintervall $\Delta t$ bezogener Temperaturkoeffizient ist, der die Geschwindigkeit des Temperaturausgleichs charakterisiert.

Das newtonsche Abkühlungsgesetz entspricht der linearen homogenen Differenzengleichung $y_{i+1}=a\cdot y_i+b$.
Dem $T_i$ entspricht $y_i$ und es gilt $a=1-k$ und $b=k{T}_u$.

Da $k\ne 0$ und damit $a\ne 1$ vorausgesetzt werden kann, ist folgende Funktion Lösung der Differenzengleichung:
$T_i=c{\left(1-k\right)}^i-\frac{k{T}_u}{l-k-l}=c{\left(1-k\right)}^i+T_u,{\text{ also T}}_{\text{i}}=c{\left(1-k\right)}^i+T_u,\text{ c}\in ℝ$

Ist zur Zeit $t_0=0$ die Temperatur des Körpers $T=T_0$, so kann c bestimmt werden:
$T_0=c{\left(1-k\right)}^0+T_u,\text{ also }c=T_0-T_u$ und damit $T_i=T_u+\left(T_0-T_u\right){\left(1-k\right)}^i$

Sind k, $T_0$ und ${\text{T}}_{\text{u}}$ für einen Körper bekannt, so kann nach der erhaltenen Gleichung die Temperatur $T_i$ dieses Körpers zu allen Zeiten $t=t_0+i\Delta t$ berechnet werden. Der umgekehrte Weg ist jedoch auch möglich und praktisch wichtig, um den Temperaturkoeffizienten k eines Körpers oder die Umgebungstemperatur ${\text{T}}_{\text{u}}$ zu bestimmen. Dazu muss eine Folge von Messwerten $T_i$ mit konstantem Zeitabstand zwischen den einzelnen Messungen vorliegen.

Beispiel

Ein Becherglas wird mit Leitungswasser gefüllt und in ein Wasser-Eis-Gemisch getaucht, in dem ein Magnetrührer arbeitet. Über einen Temperaturfühler wird im Abstand von $\Delta t$ die Temperatur aufgezeichnet. In einem solchen Experiment mit einem 50-ml-Becherglas, $T_u={\mathrm{2,8}}^{\circ }C\text{ und }\Delta t=60s$ ergaben sich die in Tabelle 1 enthaltenen Messwerte. Tabelle 2 enthält die Werte für das $T_{i+1}/T_i\text{-Diagramm}$.

Das $T_{i+1}/T_i\text{-Diagramm}$ bestätigt, dass die Messwerte $T_i$ einer linearen Differenzengleichung gehorchen. Für die Gerade durch die Messpunkte müssen nun Anstieg und Verschiebung berechnet werden, um die Parameter der Gleichung $T_{i+1}=\left(1-k\right)T_i+k{T}_u$ bestimmen zu können:

Anstieg (berechnet aus erstem und letztem Punkt in Tabelle 2):
$1-k=\frac{{\mathrm{4,6}}^{\circ }C-{\mathrm{6,0}}^{\circ }C}{{\mathrm{5,2}}^{\circ }C-{\mathrm{7,1}}^{\circ }C}=\frac{-{\mathrm{1,4}}^{\circ }C}{-{\mathrm{1,9}}^{\circ }C}=\mathrm{0,7368}$, also $k=\mathrm{0,2632}$
Verschiebung (berechnet aus dem erstem Punkt in Tab. 3):
$k{T}_u={\mathrm{6,0}}^{\circ }C-\frac{\mathrm{1,4}}{\mathrm{1,9}}\cdot {\mathrm{7,1}}^{\circ }C=\mathrm{0,7684}$, also $T_u={\mathrm{2,9}}^{\circ }C$
Als die an die Messpunkte angepasste Lösung der Differenzengleichung erhält man somit $T_i={\mathrm{2,9}}^{\circ }C+{\mathrm{4,2}}^{\circ }C\cdot {\mathrm{0,7368}}^i$.

Die Abkühlkurve zeigt sowohl die Messdaten als auch die über die gefundene Differenzengleichung ermittelten Werte. Die kleinen Abweichungen sind durch Messfehler bedingt.