Ableitungsfunktion

Gegeben ist eine Funktion y = f ( x ) = x 4 .
Ihr Differenzialquotient in a ist der folgende:
lim x a f ( x ) f ( a ) x a = lim x a x 4 a 4 x a = lim x a ( x a ) ( x + a ) ( x 2 + a 2 ) x a = lim x a ( x + a ) ( x 2 + a 2 ) = 2 a 2 a 2 = 4 a 3
Daher lautet die Gleichung der Ableitungsfunktion von f:
f ( x ) = 4 x 3 b z w . ( x 4 ) = 4 x 3

Im Allgemeinen ist der Definitionsbereich der Ableitungsfunktion nicht gleich dem der zugrunde liegenden Funktion, sondern vielmehr ein Teilbereich davon. Die Definitionsmenge von f umfasst alle Elemente der Definitionsmenge von f, für die Ableitungen existieren.

Beispiele

  • f : x m x + c
    Es gilt: D f = D f = und f : x m
  • f : x x
    Es gilt: D f = + + 0 = D f und f : x 1 2 x
  • f : x 1 x
    Es gilt: D f = D f = { 0 } und f : x 1 x 2
  • f : x | x |
    Es gilt: D f =   { 0 } = D f und f : x { 1 f ü r x > 0 1 f ü r x < 0

Beachten Sie: Es ist stets D f D f .

Ableitungsfunktionen elementarer Funktionen

Bild

Wenn eine Funktion nur durch ihren Funktionsgraphen gegeben ist, dann kann man ihre Ableitungsfunktion näherungsweise durch grafisches Differenzieren bestimmen.

Stand: 2010
Dieser Text befindet sich in redaktioneller Bearbeitung.

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