Ableitung der Tangens- und der Kotangensfunktion

Graph der Tangensfunktion

Graph der Tangensfunktion

Um die Ableitung der Tangensfunktion zu ermitteln, gehen wir von der Definitionsgleichung f ( x ) = sin x cos x aus und wenden die Quotientenregel der Differenzialrechnung an.

Es gilt dann:
u ' = 2 x u n d v ' = 1 cos 2 x , a l s o f ' ( x ) = 2 x tan x + 1 cos 2 x x 2 = x ( 2 tan x + x cos 2 x )

Für die Ableitung der Tangensfunktion gilt also:

  • Die Tangensfunktion f ( x ) = tan x ist in ihrem gesamten Definitionsbereich ( x ; x π 2 + k π ; k ) differenzierbar und besitzt dort die Ableitungsfunktion f ' ( x ) = 1 cos 2 x b z w . f ' ( x ) = 1 + tan 2 x .

Beispiel: Es ist die 1. Ableitung der Funktion f ( x ) = x 2 tan x zu ermitteln.

Wir wenden die Produktregel der Differenzialrechnung an.
Mit u = x 2 u n d v = tan x gilt dann:
u ' = 2 x u n d v ' = 1 cos 2 x , a l s o f ' ( x ) = 2 x tan x + 1 cos 2 x x 2 = x ( 2 tan x + x cos 2 x )

Die Ableitung der Kotangensfunktion kann auf analogem Wege ermittelt werden.

In diesem Fall wendet man die Quotientenregel auf die Definitionsgleichung der Kotangensfunktion cot x = cos x sin x oder cot x = 1 t a n x an und erhält als Ableitung der Kotangensfunktion:

  • Die Kotangensfunktion f ( x ) = cot x ist in ihrem gesamten Definitionsbereich ( x ; x k π ; k ) differenzierbar und besitzt dort die Ableitungsfunktion f ' ( x ) = 1 sin 2 x b z w . f ' ( x ) = ( 1 + cot 2 x ) .
Graph der Kotangensfunktion

Graph der Kotangensfunktion

Stand: 2010
Dieser Text befindet sich in redaktioneller Bearbeitung.

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