Ableitung der Sinusfunktion

Graph der Sinusfunktion

Graph der Sinusfunktion

Um die Ableitung der Sinusfunktion zu ermitteln, stellen wir den Differenzenquotienten von f an einer beliebigen Stelle x 0 auf:
d ( h ) = f ( x 0 + h ) f ( x 0 ) h = sin ( x 0 + h ) sin x 0 h

Da nach einem Additionstheorem sin ( α + β ) = sin α cos β + cos α sin β gilt, erhalten wir im vorliegenden Fall sin ( x 0 + h ) = sin x 0 cosh + cos x 0 sin h und damit:

d ( h ) = sin x 0 x 0 cos h + cos x 0 sin h sin x 0 h = sin x 0 cos h sin x 0 h + cos x 0 sin h h = sin x 0 cos h 1 h + cos x 0 sin h h

Nun wird der Grenzwert des Differenzenquotienten für h 0 gebildet. Man erhält nach den Grenzwertsätzen:

f ' ( x 0 ) = lim h 0 d ( h ) = lim h 0 ( sin x 0 cos h 1 h + cos x 0 sin h h ) = sin x 0 lim h 0 cos h 1 h + cos x 0 lim h 0 sin h h ( )

Das bedeutet: Der Grenzwert des Differenzenquotienten für h 0 existiert, wenn die Grenzwerte lim h 0 cos h 1 h u n d lim h 0 sin h h existieren.

Es lässt sich zeigen, dass lim h 0 sin h h = 1 gilt.

Um lim h 0 sin h h = 1 ermitteln zu können, wird folgende Umformungen durchgeführt: cos h 1 h = ( cos h 1 ) ( cos h + 1 ) h h ( cos h + 1 ) h = ( cos 2 h 1 ) h h 2 ( cos h + 1 )

Wegen sin 2 h + cos 2 h = 1 gilt cos 2 h 1 = sin 2 h .

Damit ist cos h 1 h = sin 2 h h 2 h cos h + 1 = ( sin h h sin h h ) h cos h + 1 .

Für h 0 erhält man dann:

lim h 0 cos h 1 h = ( lim h 0 sin h h lim h 0 sin h h ) lim h 0 h cos h + 1 cos h 1 h = = ( 1 1 ) lim h 0 h lim h 0 cosh + lim h 0 1 = 1 0 1 + 1 = 0
Setzt man die ermittelten Grenzwerte lim h 0 sin h h = 1 u n d lim h 0 cos h 1 h = 0 in obige Gleichung (*) ein, so ergibt sich: Der Grenzwert des Differenzenquotienten von f ( x ) = sin x an einer beliebigen Stelle x 0 existiert und es ist f ' ( x 0 ) = cos x 0 .

Also gilt für die Ableitung der Sinusfunktion:

  • Die Sinusfunktion f ( x ) = sin x ist im gesamten Definitionsbereich differenzierbar und besitzt die Ableitungsfunktion f ' ( x ) = cos x .

Beispiel: Es ist der Anstieg der Funktion f ( x ) = 2 sin x + sin 2 x + sin 2 x an der Stelle x 0 = π 3 zu ermitteln.

Wir erhalten:

( 2 sin x ) ' = 2 cos x ( F a k t o r r e g e l ) ( sin 2 x ) ' = 2 cos 2 x ( F a k t o r - u n d K e t t e n r e g e l ) ( sin 2 x ) ' = 2 sin x cos x ( P o t e n z - u n d K e t t e n r e g e l )

Damit gilt:

f ' ( x ) = 2 cos x + 2 cos 2 x + 2 sin x cos x f ' ( π 3 ) = 2 1 2 2 1 2 + 2 1 2 3 1 2 = 1 2 3

Stand: 2010
Dieser Text befindet sich in redaktioneller Bearbeitung.

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