Der carnotsche Kreisprozess

Als Beispiel für die Anwendung der Integralrechnung wird im Folgenden die mechanische Arbeit einer Wärmekraftmaschine im Allgemeinen und die vom Kolben eines Viertakt-Ottomotors verrichtete Arbeit im Besonderen betrachtet.

Theoretische Grundlage aller Wärmekraftmaschinen ist der sogenannte carnotsche Kreisprozess, welcher aus den folgenden vier Teilvorgängen besteht:
(1) Isotherme Expansion
Das Volumen vergrößert sich von V1 auf V2, der Druck sinkt von p1 auf p2, die Temperatur T1 bleibt konstant;
Wärmenergie Q1 muss zugeführt werden, mechanische Arbeit W1 wird frei.
(2) Adiabatische Expansion
Das Volumen vergrößert sich von V2 auf V3, der Druck sinkt von p2 auf p3, die Temperatur sinkt von T1 auf T2.
Mechanische Arbeit W2 wird frei.
(3) Isotherme Kompression
Das Volumen verringert sich von V3 auf V4, der Druck steigt von p3 auf p4, die Temperatur T2 bleibt konstant.
Mechanische Energie W3 muss zugeführt werden; Wärmenergie Q3 wird frei.
(4) Adiabatische Kompression
Das Volumen verringert sich von V4 auf V1, der Druck steigt von p4 auf p1, die Temperatur sinkt von T2 auf T1.
Mechanische Energie W4 muss zugeführt werden. Bild

Die von den Isothermen und Adiabaten eingeschlossene Fläche ist ein Maß für die nach außen abgegebene Arbeit. Durch Vergrößerung der Temperatur- bzw. Volumendifferenzen kann diese erhöht werden.
Für die von einer Wärmekraftmaschine geleistete Arbeit gilt allgemein:
$W = \int p d V m i t p = p (V)$

Physikalische Anmerkungen:
Bei einer isothermen Zustandsänderung bleibt die Temperatur T konstant und für die Zustandsgrößen Druck p und Volumen V gilt:
$p \cdot V = c o n s t$
Eine adiabatische Zustandsänderung ist dadurch charakterisiert, dass kein Wärmeaustausch mit der Umgebung erfolgt, es ändern sich alle drei Zustandgrößen (p, V und T) und es gilt:
$p \cdot V^{κ} = c o n s t (κ A d i a b a t e n \exp o n e n t m i t κ > 1)$

Mechanische Arbeit eines Viertakt-Ottomotors
Im Folgenden soll konkret die vom Kolben eines solchen Viertakt-Ottomotors verrichtete mechanische Arbeit ermittelt werden.
Die vier Takte lassen sich etwa folgendermaßen angeben:
(1) Ansaugen (isobare Zustandsänderung; p = const.)
(2) Verdichten (adiabatische Zustandsänderung) und
Zünden (isochore Zustandsänderung; V = const.)
(3) Ausdehnen und Arbeiten (adiabatische Zustandsänderung)
(4) Ausstoßen (isobare Zustandsänderung; p = const.)
Die folgende Abbildung zeigt das Arbeitsdiagramm (Druck-Volumen-Diagramm) eines Viertakt-Ottomotors.

Bild

Für die mechanische Arbeit Wmech des Kolbens gilt:
Wmech = WAusd. + WVerd.
Hierbei bezeichnen WAusd. die beim Ausdehnen nutzbare Verbrennungsarbeit des Kolbens und WVerd. die zum Verdichten benötigte Arbeit.
Beide Arbeiten lassen sich mittels eines Integrals bestimmen:
$W_{A u s d .} = \int_{V_{1}}^{V_{2}} p_{A u s d .} (V) d V$ bzw. $W_{V e r d .} = \int_{V_{2}}^{V_{1}} p_{V e r d .} (V) d V = - \int_{V_{1}}^{V_{2}} p_{V e r d .} (V) d V$
In diesen Gleichungen stellen pAusd.(V) den Verbrennungsdruck beim Takt (3) und pVerd.(V) den Verdichtungsdruck bei (2) dar. Diese können (da es sich um annähernd adiabatische Vorgänge handelt) durch folgende Funktionsgleichungen angegeben werden:
$p_{A u s d .} (V) = \frac{p_{2} \cdot V_{1}^{κ}}{V^{κ}}$ bzw. $p_{V e r d .} (V) = \frac{p_{1} \cdot V_{1}^{κ}}{V^{κ}}$
Für die mechanische Arbeit gilt:
$\begin{matrix} W_{m e c h} = \int_{V_{1}}^{V_{2}} \frac{p_{2} \cdot V_{1}^{κ}}{V^{κ}} d V - \int_{V_{1}}^{V_{2}} \frac{p_{1} \cdot V_{1}^{κ}}{V^{κ}} d V \\ = p_{2} \cdot V_{1}^{κ} \cdot \int_{V_{1}}^{V_{2}} \frac{1}{V^{κ}} d V - p_{1} \cdot V_{1}^{κ} \cdot \int_{V_{1}}^{V_{2}} \frac{1}{V^{κ}} d V \\ = (p_{2} - p_{1}) \cdot V_{1}^{κ} \cdot \int_{V_{1}}^{V_{2}} \frac{1}{V^{κ}} d V \end{matrix}$
Integrieren ergibt:
$\begin{matrix} W_{m e c h} = (p_{2} - p_{1}) \cdot V_{1}^{κ} \cdot {[\frac{V^{1 - κ}}{1 - κ}]}_{V_{1}}^{V_{2}} = \frac{(p_{2} - p_{1}) \cdot V_{1}^{κ}}{1 - κ} \cdot {[V^{1 - κ}]}_{V_{1}}^{V_{2}} \\ = \frac{(p_{2} - p_{1}) \cdot V_{1}^{κ}}{1 - κ} \cdot {[\frac{1}{V^{κ - 1}}]}_{V_{1}}^{V_{2}} \end{matrix}$
Einsetzen der Integrationsgrenzen und Zusammenfassen führt schließlich zur Gleichung für die Berechnung der Nutzarbeit:
$\begin{matrix} W_{m e c h} = \frac{(p_{2} - p_{1}) \cdot V_{1}^{κ}}{1 - κ} \cdot (\frac{1}{V_{2}^{κ - 1}} - \frac{1}{V_{1}^{κ - 1}}) \\ = \frac{(p_{2} - p_{1}) \cdot V_{1} \cdot V_{1}^{κ - 1}}{1 - κ} \cdot (\frac{1}{V_{2}^{κ - 1}} - \frac{1}{V_{1}^{κ - 1}}) \\ = \frac{(p_{2} - p_{1}) \cdot V_{1}}{1 - κ} \cdot (\frac{V_{1}^{κ - 1}}{V_{2}^{κ - 1}} - \frac{V_{1}^{κ - 1}}{V_{1}^{κ - 1}}) = \frac{(p_{2} - p_{1}) \cdot V_{1}}{1 - κ} \cdot [{(\frac{V_{1}}{V_{2}})}^{κ - 1} - 1] \end{matrix}$
Diese wird meist in der folgenden Form angegeben:
$W_{m e c h} = \frac{(p_{2} - p_{1}) \cdot V_{1}}{κ - 1} \cdot [1 - {(\frac{V_{1}}{V_{2}})}^{κ - 1}]$

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