Funktionenscharen (Verschiebung, Streckung, Stauchung und Spiegelung von Funktionsgraphen)

Es soll nun untersucht werden, welchen Einfluss – im Vergleich zum Graphen der Ausgangsfunktion $y=f\left(x\right)$– ein derartiger Summand bzw. Faktor auf die Eigenschaften und auf den Verlauf der Graphen der zugehörigen Funktion nimmt.

Fall 1: $y=g\left(x\right)=f\left(x\right)+c$
Als Beispiel betrachten wir die Funktion $f$ mit der Gleichung $y=f\left(x\right)=x^2$ und untersuchen die Graphen folgender Funktionen:

$\begin{array}{l}y=g_1\left(x\right)=x^2-1\\ y=g_2\left(x\right)=x^2+2\\ y=g_3\left(x\right)=x^2-2\end{array}$

Verallgemeinernd lässt sich feststellen:

• Wird zu jedem Funktionswert $f\left(x\right)$ einer Funktion $f$ eine Zahl $c$ $\left(c\in ℝ\right)$ addiert, d.h., gehen wir von der Funktion $y=f\left(x\right)$ zu den Funktionen $y=g\left(x\right)=f\left(x\right)+c$ über, so erhalten wir die Graphen dieser Funktionen durch Verschiebung des Graphen der Funktion $f$ in Richtung der $y$-Achse um $\left|c\right|$ Einheiten, und zwar für $c>0$ in Richtung des positiven Teils, für $c<0$ in Richtung des negativen Teils der $y$-Achse.

Durch Variation von $c$ entsteht eine durch die Gleichung $y=f\left(x\right)+c$ beschriebene Funktionenschar $f_c$ – die Graphen dieser Funktionen bilden eine Graphenschar. Der Summand $c$ wird Scharparameter genannt.

Fall 2: $y=h\left(x\right)=f\left(x+d\right)$
Wir betrachten wieder die Funktion $f$ mit der Gleichung $y=f\left(x\right)=x^2$ und untersuchen jetzt die Graphen folgender Funktionen:

$\begin{array}{l}y=h_1\left(x\right)={\left(x-1\right)}^2\\ y=h_2\left(x\right)={\left(x+2\right)}^2\\ y=h_3\left(x\right)={\left(x-4\right)}^2\end{array}$

Ausgehend von diesem Beispiel lässt sich feststellen:

• Addiert man zu jedem Argument $x$ einer Funktion $f$ eine Zahl $d$ $\left(d\in ℝ\right)$, d.h., gehen wir von der Funktion $y=f\left(x\right)$ zu den Funktionen $y=f\left(x+d\right)$ über, so ergeben sich die Graphen dieser Funktionen aus dem Graphen der ursprünglichen Funktion $f$ durch Verschiebung in Richtung der $x$-Achse um $\left|d\right|$ Einheiten, und zwar für $d>0$ in Richtung des negativen Teils, für $d<0$ in Richtung des positiven Teils der $x$-Achse.

Auch in diesem Fall entsteht eine Funktionenschar $f_d$, hier mit dem Scharparameter $d$.

Fall 3: $y=u\left(x\right)=a\cdot f\left(x\right)$; $y=v\left(x\right)=f\left(b\cdot x\right)$
Die Funktion $f$ habe wiederum die Gleichung $y=f\left(x\right)=x^2$.
Wir untersuchen die Graphen folgender Funktionen:

$\begin{array}{l}y=u_1\left(x\right)=2\cdot f\left(x\right)=2x^{2}y=v_1\left(x\right)=f\left(2\cdot x\right)={\left(2x\right)}^2=4x^2\\ y=u_2\left(x\right)=\frac{1}{2}\cdot f\left(x\right)=\frac{1}{2}{x}^{2}y=v_2\left(x\right)=f\left(\frac{1}{2}\cdot x\right)={\left(\frac{1}{2}x\right)}^2=\frac{1}{4}{x}^2\end{array}$

Hier lässt sich erkennen:

• Die Graphenscharen der jeweiligen Funktionenscharen entstehen in diesem Fall aus dem Graphen der Ausgangsfunktion durch Geradenstreckung.
  Bei $y=a\cdot f\left(x\right)$ erfolgt diese Streckung senkrecht zur $x$-Achse mit dem Faktor $\left|a\right|$; bei $y=f\left(b\cdot x\right)$ ergibt sich eine Streckung senkrecht zur $y$-Achse mit dem Faktor $\frac{1}{\left|b\right|}$.

Wählt man in $y=a\cdot f\left(x\right)$ den Parameter $a=-1$, so geht der Graph aus dem von $f$ durch Spiegelung an der $x$-Achse hervor. Die Wahl von $b=-1$ in $y=f\left(b\cdot x\right)$ bewirkt eine Spiegelung des Graphen von $f$ an der $y$-Achse.