Gedämpfte harmonische Schwingungen

Mechanische Schwingungen können ungedämpft oder gedämpft verlaufen. Solche ungedämpften Schwingungen treten immer dann auf, wenn ein Schwinger einmalig angeregt wurde und sich selbst überlassen bleibt, also freie Schwingungen ausführt, wie das z.B. bei einer einmal angeschlagenen Saite einer Gitarre der Fall ist. Aufgrund von Reibungseffekten wird dann ständig mechanische Energie in thermische Energie umgewandelt. Damit verringert sich die Amplitude der Schwingungen.
Bei harmonischen mechanischen Schwingungen kann man die Abnahme der Amplitude auch mathematisch erfassen.

Auch bei Fadenpendeln oder Federschwingern zeigt sich dieser Effekt der ständigen Verkleinerung der Amplitude, wenn man sie einmalig anregt und sie dann sich selbst überlässt. Der Vorgang führt letztlich dazu, dass der Schwinger in der Gleichgewichtslage verharrt.

Energieumwandlungen bei mechanischen Schwingungen

Führt ein Schwinger mechanische Schwingungen aus, dann tritt auch immer Reibung auf. Aufgrund von Reibungseffekten wird dann ständig ein Teil der mechanischen Energie, die der Schwinger besitzt, in thermische Energie umgewandelt. Damit verringert sich die mechanische Energie des Schwingers, also auch seine Amplitude (Bild 2). Wie schnell dieser Prozess vor sich geht, hängt von der Stärke der Dämpfung ab. Aus energetischer Sicht gilt für eine gedämpfte Schwingung der Energieerhaltungssatz in der Form:
E gesamt = E pot + E kin + E therm

Die thermische Energie bleibt allerdings nicht im System Schwinger, sondern wird an die Umgebung abgegeben und geht damit dem Schwinger verloren.

Gedämpfte und ungedämpfte Schwingungen im Vergleich.

Gedämpfte und ungedämpfte Schwingungen im Vergleich.

Mathematische Beschreibung einer gedämpften harmonischen Schwingung

Eine gedämpfte harmonische Schwingung lässt sich in Form einer Differenzialgleichung erfassen. Sie lautet:

d 2 y d t 2 + 2   δ ⋅ d y d t + ω 0 2 ⋅ y = 0 y Elongation (Auslenkung) t Zeit δ Abklingkoeffizient ω 0 Kreisfrequenz der ungedämpften Schwingung

Als Lösung dieser Differenzialgleichung erhält man:

y = y max ⋅ e − δ ⋅ t ⋅ sin   ( ω ⋅ t + φ 0 )

Die Einhüllende der Amplituden wird als Abklingkurve bezeichnet. Wie sie sich in Abhängigkeit vom Abklingkoeffizienten verändert, kann man mit dem nebenstehenden Beispiel selbst ausprobieren. Für den Abklingkoeffizienten können unterschiedliche Werte eingegeben werden. Nach Betätigung der ENTER-Taste erhält man sofort die entsprechende grafische Darstellung.

Aus der Schwingungsgleichung für eine gedämpfte harmonische Schwingung ergibt sich:

  • Die maximale Elongation (Amplitude) verringert sich mit der Zeit.
  • Die Frequenz der Schwingungen und damit auch die Schwingungsdauer verändert sich mit Verringerung der Amplitude nicht.
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