Pythagoreische Zahlentripel

Drei Zahlen a, b und c, für die $a^2+b^2=c^2$ gilt, bilden ein sogenanntes pythagoreisches Zahlentripel.
Der Name kommt vom Lehrsatz des Pythagoras, der besagt, dass in einem rechtwinkligen Dreieck die Summe der Quadrate der Kathetenlängen gleich dem Quadrat der Länge der Hypotenuse ist.

Pythagoreische Zahlentripel sind:
3, 4 und 5, denn 9 + 16 = 25
5, 12 und 13, denn 25 + 144 = 169
8, 15 und 17, denn 64 + 225 = 289
9, 40 und 41, denn 81 + 1600 = 1681

Aus einem pythagoreischen Zahlentripel kann man durch Vervielfachung aller Zahlen mit dem gleichem Faktor beliebig viele weitere (unechte) pythagoreische Zahlentripel gewinnen.

Pythagoreisches Zahlentripel sind also auch:
6, 8 und 10; 27, 120 und 123; 24, 45 und 51

Relativ einfach lassen sich pythagoreische Zahlentripel finden, von denen c um 1 größer ist als a (oder b) ist. Dann muss nämlich gelten: $a^2+b^2={\left(a+1\right)}^2$, also $a^2+b^2=a^2+2a+1$ und somit $b^2=2a+1$. $b^2$ muss also eine ungerade Quadratzahl sein. Aus jeder ungeraden Quadratzahl kann man dann ein pythagoreisches Zahlentripel berechnen.

• $b^2$ = 25; b = 5; 2a + 1 = 25; a = 12; c = 13
  Probe: $5^2+{12}^2$= 169 = ${13}^2$
• $b^2$ = 49; b = 7; 2a + 1 = 49; a = 24; c = 25
  Probe: $7^2+{24}^2$= 625 = ${25}^2$
• $b^2$ = 81; b = 9; 2a + 1 = 81; a = 40; c = 41
  Probe: $9^2+{40}^2$= 1681 = ${41}^2$

Historisches

Die Tripel 3, 4, 5 und 5, 12, 13 waren bereits den alten Ägyptern bekannt und dienten ihnen bei der Landvermessung zur Erzeugung rechter Winkel. Dazu wurden Schnüre verwendet, die durch Knoten in Abschnitte von 3, 4 und 5 Einheiten (5, 12, 13 Einheiten) unterteilt wurden. Spannt man eine solche Schnur zu einem Dreieck, so erhält man ein rechtwinkliges Dreieck.

Der griechische Philosoph und Mathematiker PLATON gab zum Auffinden pythagoreischer Zahlentripel die Beziehungen $n^2-1;2n;n^2+1$ an (freilich ohne die Benutzung von Variablen).

Für n = 4 erhält man das Zahlentripel 15, 8, 17;
( 225 + 64 = 289);
für n = 5 folgt das (unechte) Zahlentripel 24, 10, 26;
(576 + 100 = 676)

Heute weiß man, dass es unendlich viele echte pythagoreische Zahlentripel gibt.