Periodizität von Funktionen

• Definition: Eine Funktion f heißt periodisch, wenn es eine Zahl a≠0 gibt, sodass für alle $x,x+a\in D_f$ gilt:
  $f\left(x+a\right)=f\left(x\right)$.
  Die kleinste positive Zahl p mit dieser Eigenschaft nennt man Periode.
  
  Anmerkung: Mit $f\left(x+a\right)=f\left(x\right)$ gilt auch $f\left(x\right)=f\left(x+k\cdot a\right)$, sofern nur die Werte $x+k\cdot a($mit $k\in \mathbb{Z})$ zum Definitionsbereich gehören.

Die Graphen periodischer Funktionen sind verschiebungssymmetrisch, sie gehen durch Verschiebung längs der x-Achse mit einer Verschiebungsweite p oder $k\cdot p$ in sich über.

Die bekanntesten periodischen Funktionen sind die trigonometrischen Funktionen. Die Sinusfunktion und die Kosinusfunktion sind periodisch mit der Periode $2\pi$. Aus ihnen lassen sich weitere periodische Funktionen zusammensetzen, z.B. die Funktionen $f\left(x\right)=a\cdot \sin bx$ mit der Periode $p=\frac{2\pi }{b}$.

Beispiel 1: Die Periode der Funktion $f\left(x\right)=3\sin \frac{1}{4}\left(x+\pi \right)$ ist zu bestimmen.

Die Funktion ist vom Typ $f\left(x\right)=a\cdot \sin b\left(x+c\right)$. Für die Periode von f gilt allgemein $p=\frac{2\pi }{b}$. Damit hat f die Periode $p=8\pi$.

Beispiel 2: Die Funktion $f\left(x\right)=2\sin \left(2\left(x+2\right)\right)+2$ ist zu skizzieren.

Der Graph dieser Funktion f geht aus dem Graphen der Sinusfunktion durch folgende Modifikationen hervor:

• Streckung in Richtung der y-Achse mit dem Faktor 2;
• Streckung in Richtung der x-Achse mit dem Faktor $\frac{1}{2}$ (Stauchung);
• Verschiebung um zwei Einheiten in Richtung der x-Achse nach links;
• Verschiebung um zwei Einheiten in Richtung der y-Achse nach oben

Für die Periode p gilt $p=\frac{2\pi }{2}=\pi$.
Abschließend soll noch eine Aussage für zusammengesetzte Funktionen der Form $f\left(x\right)=a_1\cdot \sin b_{1}x+a_2\cdot \sin b_{2}x$ gemacht werden.
Diese sind periodisch, wenn $b_1$ und $b2$ in einem ganzzahligen Verhältnis zueinander stehen, d.h., wenn $b_1:b_2=m:n$ gilt und m und n teilerfremde ganze Zahlen sind.
Die Periode des ersten Summanden ist dann $\frac{2\pi }{b_1}$, die des zweiten $\frac{2\pi }{b_2}$, und es gilt:
$\frac{\text{2}\pi }{{\text{b}}_{\text{1}}}:\frac{\text{2}\pi }{{\text{b}}_{\text{2}}}=b_2:b_1=n:m$
Das heißt, n Perioden des ersten Summanden entsprechen genau m Perioden des zweiten. Deshalb hat die Gesamtfunktion die Periode $m\cdot \frac{\text{2}\pi }{{\text{b}}_{\text{1}}}=n\cdot \frac{\text{2}\pi }{{\text{b}}_{\text{2}}}$.

Beispiel 3: Die Periode der Funktion $f\left(x\right)=\sin 3x+2\sin \frac{2}{3}x$ ist zu bestimmen.

Die Perioden der Einzelfunktion obiger zusammengesetzter Funktion sind $\frac{2}{3}\pi$ bzw. $3\pi$, ihr Verhältnis ist $\frac{2}{3}\pi :3\pi =2:9$, die Periode der betrachteten Funktion ist demzufolge $9\cdot \frac{2}{3}\pi =2\cdot 3\pi =6\pi$.