Konstantenregel der Differenzialrechnung

Wir vermuten das Folgende: Eine konstante Funktion $f (x) = c (c \in ℝ, a b e r f e s t)$ besitzt für alle $x \in ℝ$ die Ableitung $f^{'} (x) = 0.$

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Wir betrachten die konstante Funktion $f (x) = c$ für alle $x \in ℝ$ .
Ihr Graph ist eine Parallele zur x-Achse.

Zum Nachweis dieser Vermutung wird der Differenzenquotient für eine beliebige Stelle $x_{0} \in D_{f}$ gebildet:
$\begin{matrix} d (h) = \frac{f (x_{0} + h) - f (x)}{h} \\ = \frac{c - c}{h} = \frac{0}{h} = 0 (f ü r h \neq 0) \end{matrix}$

Also gilt auch:

$f^{'} (x_{0}) = \lim_{h \to 0} 0 = 0$

Damit gilt allgemein die Konstantenregel der Differenzialrechnung:

Eine konstante Funktion $f (x) = c (c \in ℝ, a b e r f e s t)$ besitzt für alle $x \in ℝ$ die Ableitung $f^{'} (x) = 0$ .

Anmerkung: Bei der Ableitung einer Funktion ist stets genau zu beachten, welche der (u.U. mehreren) in der Funktionsgleichung auftretenden Variablen die unabhängige (Funktions-)Variable kennzeichnet.

Beispielsweise ist für $f (x) = c$ nach obiger Regel die Ableitung $f^{'} (x) = 0$ , während dies für $f (c) = c (c \in ℝ)$ nicht zutrifft.

Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH): "Konstantenregel der Differenzialrechnung." In: Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH). URL: http://www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/mathematik-abitur/artikel/konstantenregel-der-differenzialrechnung (Abgerufen: 25. April 2025, 02:13 UTC)

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$f' (x_{0}) = \lim_{h \to 0} \frac{f (x_{0} + h) - f (x_{0})}{h}$

Interpretiert man diesen Grenzwert geometrisch, so gibt er den Anstieg der Tangente an den Graphen von f im Punkte $P_{0} (x_{0}; f (x_{0}))$ an.

Es sei nun $z = f (x, y)$ die Gleichung einer Funktion f mit zwei unabhängigen Variablen x und y. Betrachtet man diese Funktion für ein konstantes $y = y_{0}$ , so erhält man eine Funktion $z = f (x, y_{0})$ mit nunmehr nur einer unabhängigen Variablen x, für die man wie oben angegeben den Grenzwert des Differenzenquotienten an einer Stelle $x_{0}$ aufstellen kann. Existiert dieser Grenzwert, so nennt man ihn die partielle Ableitung erster Ordnung der Ausgangsfunktion $z = f (x, y)$ nach x an der Stelle $(x_{0}; y_{0})$ und schreibt:
$f_{x} (x_{0}; y_{0}) = \lim_{h \to 0} \frac{f (x_{0} + h, y_{0}) - f (x_{0}, y_{0})}{h}$

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