Gleichungen, Lösen

Treten Variablen in einer Gleichung auf, so werden diese erst dann zu einer wahren oder falschen Aussage, wenn die Variablen mit Zahlen oder Größen aus einer Grundmenge belegt werden.

Das Bestimmen aller Zahlen, die die Gleichung zu einer wahren Aussage machen, heißt Lösen der Gleichung. Jede solche Zahl heißt Lösung und alle diese Zahlen zusammen bilden die Lösungsmenge der Gleichung. Die Lösungsmenge wird mit L bezeichnet.
Die Lösungsmenge ist leer, wenn keine Zahl die Gleichung erfüllt.
Schreibweise: $L=\varnothing \text{ bzw}\text{. }\left\{\right\}$
Die Zeichen $\varnothing \text{ bzw}\text{. }\left\{\right\}$ sind Abkürzungen für die leere Menge.

Umformumgsregeln

Die Lösungsmenge einer Gleichung ändert sich nicht, wenn

• die Seiten einer Gleichung vertauscht werden,
• auf beiden Seiten einer Gleichung derselbe Term addiert oder subtrahiert wird,
• beide Seiten einer Gleichung mit demselben Term multipliziert werden,
• beide Seiten einer Gleichung durch denselben Term dividiert werden.

Beim Multiplizieren bzw. Dividieren darf der Term für keine Zahl aus der Grundmenge den Wert null annehmen.

Umformungen von Gleichungen mithilfe dieser Regeln heißen auch Äquivalenzumformungen, da sich die Lösungsmenge der Gleichungen dabei nicht ändert.
Zur Kontrolle führt man nach dem Lösen der Gleichung immer eine Probe durch. Dazu berechnet man den Wert des Terms auf der linken und auf der rechten Seite der Gleichung und vergleicht. Erhält man eine wahre Aussage, hat man die richtige Lösungsmenge der Gleichung bestimmt.