Winkelfunktionen

Bezüglich des Einheitskreises gelten folgende (zu den Definitionen an einem beliebigen Kreis äquivalente) Festlegungen:

• Die Ordinate v des zum Winkel $\alpha$ gehörenden Punktes $P\left(u;v\right)$ auf dem Einheitskreis heißt Sinus des Winkels $\alpha$:
  $\sin \alpha =\frac{\left|\overline{PQ}\right|}{\left|\overline{OP}\right|}=\frac{v}{1}=v\alpha \in \left[0°;360°\right]$
• Die Abszisse u des zum Winkel $\alpha$ gehörenden Punktes $P\left(u;v\right)$ auf dem Einheitskreis heißt Kosinus des Winkels $\alpha$:
  $\cos \alpha =\frac{\left|\overline{OQ}\right|}{\left|\overline{OP}\right|}=\frac{u}{1}=u\alpha \in \left[0°;360°\right]$

Die Zuordnung eines Winkel zu seinem Sinus- bzw. Kosinuswert ist eindeutig, stellt also eine Funktion (hier trigonometrische Funktion oder Winkelfunktion) genannt dar.

Um zu gewährleisten, dass es sich hierbei – wie gewohnt – um eine Zahl-Zahl-Beziehung handelt, gibt man den Winkel im Bogenmaß an.

• Das Bogenmaß eines Winkels $\alpha$ ist das Verhältnis aus der zu diesem Winkel gehörenden Kreisbogenlänge b und der Länge r des Radius des Kreises. Es wird mit $arc\alpha$ (lies: arkus alpha) oder $\stackrel{⌢}{\alpha }$ bezeichnet:
  $arc\alpha =\frac{b}{r}=\frac{\pi \cdot r\cdot \alpha }{180°\cdot r}=\frac{\pi }{180°}\cdot \alpha bzw.\alpha =\frac{arc\alpha \cdot 180°}{\pi }$

Am Einheitskreis gilt wegen $r=1LE$ eine besondere Beziehung. Als Einheit des Bogenmaßes verwendet man 1 Radiant $\stackrel{⌢}{\alpha }=arc\alpha =b$ (1 rad) und legt fest: 1 rad ist die Größe des Winkels $\alpha$, für den am Einheitskreis $arc\alpha =1$ gilt.
Aus $arc\alpha =\frac{\alpha \cdot \pi }{180°}$ folgt in diesem Falle $\alpha =1\cdot \frac{180°}{\pi }\approx \mathrm{57,295}78°$.

Mit anderen Worten: Der Winkel $\mathrm{57,295}78°$ im Gradmaß hat das Bogenmaß $1rad$.
Auf die Angabe der Einheit rad wird häufig verzichtet.

Beispiel:

$\begin{array}{l}\alpha =217°\Rightarrow arc217°=\frac{\pi }{180°}\cdot 217°\approx \mathrm{3,787}(rad)\\ \alpha =\mathrm{2,129}(rad)\Rightarrow \alpha =\frac{\mathrm{2,129}\cdot 180°}{\pi }\approx \mathrm{121,98}°\end{array}$

Häufig werden die in der folgenden Tabelle zusammengestellten Werte benutzt.

Geht man außerdem von der Auffassung aus, dass der zweite Schenkel des Winkels $\alpha$beliebig oft und zudem im mathematisch positiven wie im mathematisch negativen Drehsinn um den Ursprung gedreht werden kann, so lässt sich der Winkelbegriff erweitern:

Jede hinzukommende volle Umdrehung verändert den Winkel um $\pm 360°bzw.\pm 2\pi$ (bei Drehung im bzw. entgegen dem Uhrzeigersinn). Als Definitionsbereich für die oben genannten Funktionen kann damit die gesamte Menge $ℝ$ der reellen Zahlen verwendet werden.
Anmerkung: Der Übergang zur Winkelmessung in Bogenmaß soll nachfolgend durch die Verwendung von x als Winkelbezeichnung kenntlich gemacht werden.

• Die eindeutige Zuordnung $x\mapsto \sin x\left(x\in ℝ\right)$ nennt man Sinusfunktion, die eindeutige Zuordnung $x\mapsto \cos x\left(x\in ℝ\right)$ Kosinusfunktion.

Die folgende Tabelle gibt Beispiele von Funktionswerten der Sinus- bzw. Kosinusfunktion an.

Die Definition des Tangens eines Winkels x kann sofort unter Verwendung des Sinus und des Kosinus dieses Winkels, aber auch mit Bezug auf den Einheitskreis und der Tangente an diesen im Punkt $P\left(1;0\right)$ erfolgen:

Für beliebige Winkel x $\left(x\in ℝ;x\ne \left(2k+1\right)\cdot \frac{\pi }{2};k\in \mathbb{Z}\right)$ heißt der Quotient aus dem Sinus und dem Kosinus dieses Winkels Tangens des Winkels x.

Die eindeutige Zuordnung $x\mapsto \tan x$ nennt man Tangensfunktion.
Entsprechend heißt der Quotient aus dem Sinus eines Winkels x $\left(x\in ℝ;x\ne k\cdot \pi ;k\in \mathbb{Z}\right)$ der Kotangens von x und die eindeutige Zuordnung $x\mapsto \cot x$ die Kotangensfunktion.